Математика в покере Часть 3. В ожидании прибыли.

Сегодня я познакомлю Вас с понятиями, которые убедят Вас в безграничности темы, которую я затронул. Некоторые из них могут показаться сложными, а некоторые таковыми и являются. Но так или иначе я приложил максимум усилий для того что бы упростить понимание этих терминов для Вас и самого себя. Те формулы и методы вычисления, которые Вы возьмете на вооружение всегда будут кстати и никогда не подведут, ведь как я уже говорил «Цифры не обманешь».





EV (Expected Value)

EV (Expected Value). Для начала расскажу, зачем существует это понятие. Несмотря на расчет шансов банка у вас часто будет возникать вопрос «На сколько решение, которое я реализовал, будет прибыльным на длинной дистанции, то есть, сколько прибыли я получу при принятии такого решения в среднем?» Из названия Expected Value (ожидаемая доходность ставки) следует, что этот термин означает, сколько вы заработаете на длинной дистанции, если будете повторять этот ход постоянно в такой же ситуации. Здесь, как и в формуле вычисления потенциальных шансов банка нам необходимо соотнести определенные значения, которые имеют непосредственное отношение к решению этой задачи, а именно:

1. Вероятность вашего выигрыша (R) 
2. Ваш выигрыш (S) 
3. Вероятность вашего проигрыша (D) 
4. Ваш проигрыш (W) (проигрыш всегда пишется в формуле со знаком минус) 

А вот формула для вычисления EV:

R × S + D × W = EV

Думаю следует привести самый простой пример что бы лучше проиллюстрировать как выглядят такие вычисления и лучше всего для этого подойдет пример с монеткой. Допустим, вы с вашим другом ставите по 1$ на выпадение орла или решки, если выпадет орел вы получите 1$, если выпадет решка 1$ получит ваш друг. Как известно, вероятность выпадение орла равна 50%, подставляем переменные в формулу и получаем следующее:

0,5 × 1$ + 0,5 × (-1$) = 0

Если мы вспомним школьную программу по математике, то увидим, что в первой части уравнения мы получили 0,5, а во второй (после знака плюс) -0,5 это означает что:

0,5 + (-0,5) = 0

Это пример, на котором Колин Мошман в одной из своих книг демонстрирует, что такое EV.
Давайте теперь рассмотрим пример покерной ситуации, которая возможно встретится у вас за столом.

К примеру, у вас на руках:

A♣ 10♣

Рука вашего оппонента:

Q♦ Q♥

Флоп:

Q♠ 3♣ 7♣

В банке 20$, ваш соперник идет в олл - ин и ставит 13$, теперь в банке 33$, давайте подсчитаем EV для кола размером в 13$. Рекомендую вам сделать это самостоятельно, а потом сверится с ответом:

Итак, вероятность собрать флеш против сета 25,5% или 1/4, это означает, что проиграете вы в 74,5 процентах случаев. Теперь

0,255 × 33$ + (0,745) × (-13$) = 8, 415 – 9, 685= -1,27

Как видите, каждый раз принимая такое решение, мы будем терять в среднем 1,27$. Хочу обратить ваше внимание на то, что 1 мы берем за 100% и переводим соответствующим образом остальные проценты. У вычисления EV как и у остальных, есть свои особенности о которых, разумеется нельзя забывать. Развитие событий в отдельно взятой раздаче может принять любой оборот, для вас наиболее благоприятным будет тот, который принесет большую прибыль, а самым неблагоприятным будет тот, который заставит вас играть в минус. Если представить, как будут развиваться события дальше, один из вариантов развития событий покажется вам более вероятным по сравнению с другим, это является вашей оценкой (прогнозом), к примеру, основанной на том, как играют ваши соперники. Такой прогноз будет иметь значение при выборе варианта розыгрыша с наиболее высоким EV, что принесет вам больше прибыли, но это зависит не только от того на сколько хорошо вы считаете EV, но и от того на сколько хорошо вы умеете изучать ваших соперников. Вам необходимо будет найти компромисс между наиболее высоким показателем EV и самым вероятным развитием событий. Иногда будет случаться так, что одного конкретного сценария у вас не будет, и тогда вычисления делаются для каждого в отдельности. Это выглядит действительно сложно, но при этом обеспечивает вам точные знания о том, сколько вы заработали, приняв такое решение, еще не заработав ничего.

Доллары Склански

Как Вы могли догадаться следующее понятие, на котором мы остановимся, придумал ДэвидСклански. Я описываю его в след за Expected Value так как считаю их очень похожими. Долгое время мне не удавалось найти его, но совсем недавно я обнаружил его описание на сайте и разобравшись что к чему, решил рассказать о нем Вам. Что бы объяснение целей вычисления Долларов Склански получилось нагляднее, перейдем сразу к формуле:

1. Общий размер банка + ставка, которую необходимо сделать (B) 
2. Сила вашей руки против руки оппонента в процентах (H) 
3. Размер сделанной ставки (S) 

Формула:

H × B – S = Доллары Склански

Величайший покерный теоретик и потомственный математик Дэвид Склански, разработал свою систему для определения количества денег, которые вы сможете выиграть на основании эквити вашей руки. На мой взгляд Система его подсчетов очень удобна так как предполагает максимально простые действия, которые запросто удастся выполнить даже в уме. Что бы продемонстрировать как это работает, давайте возьмем пример который я приводил когда мы говорили о Expected Value:

К примеру, у вас на руках:

A♣ 10♣

Рука вашего оппонента:

Q♦ Q♥

Флоп:

Q♠ 3♣ 7♣

В банке 20$, ваш соперник идет в олл - ин и ставит 13$, теперь в банке 33$, вы должны поставить 13$. Давайте подставим значения в формулу:

46 × 0, 255 – 13 = 1,73 – 13 = -1, 27

И что же получается? В конечном итоге мы получили тоже число, что и в предыдущей части моего поста. Пользуясь разными формулами мы получили ответ на один и тот же вопрос «На сколько решение, которое я реализовал, будет прибыльным на длинной дистанции, то есть, сколько прибыли я получу при принятии такого решения в среднем?». А значит:

Доллары Склански и Expected Value вычисляют одно и тоже!

Но преимуществом метода который предлагает Дэвид Склански можно отметить его простоту и доступность вычисления даже в офф– лайн игре. Причиной этому послужило меньшее количество математических действий, которое необходимо выполнить для получения ответа, если сравнивать его с подсчетом EV. Но есть и недостатки. Когда вы играете в покер, вы очень редко будете знать наверняка какая рука у вашего соперника, обычно рекомендуется ложить своего соперника на диапазон рук, то есть вместо одной руки представлять несколько возможных рук исходя из хода розыгрыша знаний о вашем оппоненте и т.д. Ваша задача по ходу розыгрыша максимально сузить этот диапазон вашего соперника, что бы знать наверняка какая у него рука, но чаще всего это невозможно по целому ряду причин. И в этом случае ни Доллары Склански, ни Expected Value не помогут вам принять правильное решение. Эти формулы больше подходят для ситуаций когда рука вашего соперника уже известна, то есть для разбора и анализа игровой сессии. Таким образом я хочу подвести Вас к следующему определению, в котором эта проблема решается, мы поговорим о G – Долларах.

G – Доллары

G – Доллары были придуманы Филом Гальфондом для расчета ожидаемой прибыли против диапазона рук соперника. Эти расчеты представляют более трудоемкое занятие, но при этом дают более применимые на практике результаты. В расчете G – Долларов гораздо больше этапов и чем больше диапазон вашего соперника, тем более трудоемкими будут подсчеты. Это связанно с тем, что на первом этапе Вам необходимо подсчитать вероятность выигрыша каждой руки из предпологаемого диапазона вашего соперника против вашей. Некоторые цифры вы и так будете знать, к примеру A♥ A♣  против 7♦ 2♠, а некоторые придется подсчитывать.

Во вторых, необходимо вычислить вероятность наличия в диапазоне каждой из возможных рук. К примеру, из четырех двоек можно построить 6 различных комбинаций 22 (2♦ 2♠, 2♥ 2♣, 2♣ 2♦,2♠ 2♣, 2♥ 2♠, 2♦ 2♥) и 16 вариантов составить комбинацию из двух непарных карт, к примеру QJ или AK. Нельзя забывать, что если одна из двоек у вас на руках то варианты составления пары двоек сокращаются до трех: без ♠ - 2♥ 2♣, 2♣ 2♦, 2♦ 2♥, а для непарных карт до 12:

без Q♠ - Q♣J♣, Q ♣J♠, Q ♣J♥, Q ♣J♦, Q♦ J♦, Q♦ J♣, Q♦ J♠, Q♦ J♥, Q♥ J♥, Q♥ J♦, Q♥ J♠, Q♥ J♣  

 и до 9 если убрать QJ одной масти:

без Q♠ J♠ - Q♣J♣, Q♣J♥, Q ♣J♦, Q♦ J♦, Q♦ J♥, Q♦ J♣, Q♥ J♥, Q♥ J♦, Q♥ J♣  

Теперь перейдем к третьему этапу наших вычислений. Мы умножим вероятность выигрыша каждой руки из диапазона на количество соответствующих ей комбинаций. Выглядеть для каждой руки это должно так:

Допустим, одна из возможных рук вашего оппонента Q J, против вашей руки 2♠ 2♣, она имеет 52% преимущества. Это означает, что вычисления должны выглядеть так:

Q J- 0.52 × 16 = 8, 32 

И так для каждой возможной комбинации.

В следующем действии вам нужно сложить числа для каждой руки, которые мы получили в предыдущем действии и поделить на общее число возможных комбинаций в диапазоне соперника.


Допустим, на руках у вашего оппонента могут быть только Q J и Q K. Мы помним, что существует 16 возможных комбинаций составленных из двух непарных карт, то есть в диапазоне соперника их 32, (16 Q J и 16 Q K).

8,48 + 8,16 = 16,64 : 32 = 0, 52

                                16 + 16

К этому уравнению необходимо сделать несколько примечаний.


Во-первых, как вы могли заметить, Q J доминируют над 22 чуть лучше, чем Q K и это действительно так, в связи с тем, что у Q J чуть больше возможностей для построения стрита, чем у Q K.

Во-вторых, в верхней части дроби, как правило, гораздо больше значений, а в нижней, как правило, значения будут разными.

0,52 или 52% и есть вероятность диапазона Q J, Q K выиграть у наших двоек. Что бы определить с какой вероятностью 22 будут выигрывать у Q J Q K необходимо отнять от 100 полученные 52% что будет равно 48%- ми. Что бы не возникало путаницы хочу обратить ваше внимание на то что вероятность победы 22 против двух рук Q J и Q K меньше на 10%, но это может быть только в том случае если у вас 2 соперника, а эти расчеты делаются для диапазона рук одного соперника.

Итак, самые сложные расчеты остались позади, и мы практически подобрались к самому главному.

Теперь сумму банка мы умножаем на вероятность нашей победы, в данном случае на 48% и отнять полученное число от стоимости кола. Для наглядности давайте предположим, что банк равен 100$, а стоимость кола 50$. Получается простое уравнение:

100 × 0,48 - 50 = - 2

Теперь становиться ясно что каждый раз колируя ставку такого размера против диапазона Q J иQ K с 22 на руках мы будем терять по 2 G - доллара.

По сути, последнее действие это все теже Доллары Склански, только теперь, вместо вероятности на победу против конкретной руки мы подставляем вероятность против возможного диапазона рук соперника.

Вы уже могли подумать «Если мне когда нибудь удастся научиться вычислять G – доллары в уме, я смело могу претендовать на ФилдсовскуюПремию»=). На случай если вы не обладаете необычайными способностями в области математики, существуют специальные калькуляторы для подсчета G – долларов. И к тому же не стоит забывать, что некоторые цифры не придется считать каждый раз. К примеру, 6♠ 6♣  доминируют над A♥ Q♥, A♥ K♥ и K♥ Q♥ практически одинаково, за исключением K♥ Q♥, где 6♠ 6♣  уступают один процент в сравнение с противостоянием против A♥ Q♥. Основные сложности возникают когда вам необходимо перемножить вероятность каждой руки из диапазона на общее количество возможных комбинаций этой руки, как было в примере с Q J где мы получили 8, 48, а потом сложить все эти значение и разделить на общие количество возможных рук, которые еще нужно подсчитать. Это трудоемкое занятие, выполнять которое в офф- лайн игре можно только в уме, а он- лайне на это чаще всего не хватит времени. Но это упражнение пригодится вам для разбора сыгранных вами рук, что бы определить прибыльность вашей игры. В реальной игре приблизительно представляя диапазон вашего соперника, Вы сможете определить, что вы будете либо выигрывать, либо проигрывать большинству предполагаемых рук Вашего соперника, что поможет определить, как поступить в данной ситуации.

Как Вы могли догадаться, я назвал этот пост именно так, потому что сегодня мы говорили об основных методах определения ожидаемой прибыли. В целом это и есть основная задача математики, когда речь идет об инвестициях. Эти расчеты станут безоговорочным критерием и крепким фундаментом для оценки вашей игры. Конечно оценить их пользу можно только сыграв не одну сотню рук, но выступая как инвестор, в среде где способов получения прибыли бесконечное множество приложенные Вами усилия с лихвой окупятся, что сделает вашу игру лучше и позволит с большей уверенностью принимать решения за столом.